设f（x）=x33，g(x)＝t23x−23t（t∈R）

解题思路：（I）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求函数y=f（x）-g8（x）的单调区间；（II）（ⅰ）由题意当x＞0时，f（x）≥gt（x），求出f（x）最小指，和gt（x）的最大值，从而求证；（ⅱ）由（i）得，gt（2）≥gt（2）对任意正实数t成立．即存在正实数x0=2，使得gx（2）≥gt（2）对任意正实数t，然后再证明x0的唯一性．

（I）y＝
x3
3−4x+
16
3．由y'=x²-4=0，得x=±2．
因为当x∈（-∞，-2）时，y'＞0，
当x∈（-2，2）时，y'＜0，
当x∈（2，+∞）时，y'＞0，
故所求函数的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞），
单调递减区间是（-2，2）．
（II）证明：（i）方法一：
令h(x)＝f(x)−gt(x)＝
x3
3−t
2
3x+
2
3t(x＞0)，则h′(x)＝x2−t
2
3，
当t＞0时，由h'（x）=0，得x＝t
1
3，
当x∈(x
1
3，+∞)时，h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是h(t
1
3)＝0．
故当x＞0时，f（x）≥g_t（x）对任意正实数t成立．
方法二：
对任意固定的x＞0，令h(t)＝gt(x)＝t
2
3x−
2
3t(t＞0)，则h′(t)＝
2
3t−
1
3(x−t
1
3)，
由h'（t）=0，得t=x³．
当0＜t＜x³时，h'（t）＞0．
当t＞x³时，h'（t）＜0，
所以当t=x³时，h（t）取得最大值h(x3)＝
1
3x3．
因此当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t成立．
（ii）方法一：f(2)＝
8
3＝gt(2)．
由（i）得，g_t（2）≥g_t（2）对任意正实数t成立．
即存在正实数x₀=2，使得g_x（2）≥g_t（2）对任意正实数t成立．
下面证明x₀的唯一性：
当x₀≠2，x₀＞0，t=8时，f(x0)＝
x03
3，gx(x0)＝4x0−
16
3，
由（i）得，
x03
3＞4x0−
16
3，
再取t=x₀³，得gx03(x0)＝
x03
3，
所以gx(x0)＝4x0−
16
3＜
x03
3＝gx03(x0)，
即x₀≠2时，不满足g_x（x₀）≥g_t（x₀）对任意t＞0都成立．
故有且仅有一个正实数x₀=2，
使得g_x（x₀）0≥g_t（x₀）对任意正实数t成立．
方法二：对任意x₀＞0，gx(x0)＝4x0−
16
3，
因为g_t（x₀）关于t的最大值是
1
3x03，所以要使g_x（x₀）≥g_t（x₀）
对任意正实数成立的充分必要条件是：4x0−
16
3≥
1
3x03，
即（x₀-2）²（x₀+4）≤0，①
又因为x₀＞0，不等式①成立的充分必要条件是x₀=2，
所以有且仅有一个正实数x₀=2，
使得g_x（x₀）≥g_t（x₀）对任意正实数t成立．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力，难度较大．

解题思路：（1）求导，利用导数求函数的单调区间．
（2）利用导数求函数的最值．
（3）由（2）直接写出满足条件的x₀的值．

（1）当t=8时，g（x）=4x-[16/3]，y=f（x）-g（x）=
x3
3−4x+
16
3，
y'=x²-4，由y'＞0，得x＞2或x＜-2，
由y'＜0，得-2＜x＜2，
即函数y=f（x）-g（x）的单调的递增区间为（-∞，-2）和（2，+∞）．
单调递减区间为（-2，2）．
（2）设h（x）=f（x）-g（x），
则h′(x)＝f′(x)−g′(x)＝x2−t
2
3，由h′(x)＝x2−t
2
3＝0得x＝t
1
3．
当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表：

x （0，t
1
3） t
1
3 （t
1
3，+∞）
h'（x） - +
h（x） 单调递减 极小值 单调递增所以h（x）在（0，+∞）上有唯一的极小值h(t
1
3)，所以h（x）在（0，+∞）上的最小值h(t
1
3)=0．
故当t＞0时f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立．
（3）若存在正实数x₀=2使得g（x₀）≤4x₀-[16/3]对任意正实数t都成立．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，综合性较强，运算量较大．

解题思路：（I）先对函数y=f（x）-g（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据g′（x）＞0求得的区间是单调增区间，g′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（II）令h(x)＝f(x)−g(x)＝

x3

3

−t

2

3

x+

2

3

t(x＞0)．利用导数求出fh（x）最小值，从而证得当t＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立．

（Ⅰ）当t=8时，g(x)＝4x−
16
3∴y＝f(x)−g(x)＝
x3
3−4x+
16
3y′=x²-4
令y′＞0，得x＜-2或x＞2，令y′＜0，得-2＜x＜2
故所求函数y=f（x）-g（x）的单调递增区间是（-∞，-2）和（2，+∞），
单调递减区间是（-2，2）
（Ⅱ）证明：令h(x)＝f(x)−g(x)＝
x3
3−t
2
3x+
2
3t(x＞0)
由h′(x)＝x2−t
2
3因为t＞0，由h′(x)＝x2−t
2
3＝0，得x＝t
1
3
当x∈(t
1
3，+∞)时，h′（x）＞0；当x∈(0，t
1
3)时，h′（x）＜0
当变化时，y与y′的变化情况如下表：

x (0，t
1
3) t
1
3 (t
1
3，+∞)
h′（x） - 0 +
h（x） ↘ 极小值 ↗∴h（x）在（0，+∞）内有唯一的极小值h(t
1
3)
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值h(t
1
3)＝0
故当t＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在最大值、最小值问题中的应用、导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力，难度较大．