tanAtanBtanC-(tanA+tanB+tanC)等于什么啊?

解题思路：通过余弦定理以及正弦定理，以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，把正弦函数余弦函数化为正切，即可得到结果．

∵a²+b²=2012c²，由余弦定理a²+b²-2abcosC=c²，可得：2abcosC=2011c²，
由正弦定理可得，2sinAsinBcosC=2011sin²C，
2sinAsinB=2011sin（A+B）tanC，
∴[sinA•sinB
tanC(sinAcosB+cosAsinB)=
2011/2]，
即[tanA•tanB
tanC(tanA+tanB)=
2011/2]．
故答案为：[2011/2]．

点评：
本题考点： 余弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值．

考点点评： 本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．

1.
tanBtanC-√3(tanB+tanC)=1
1-tanBtanC=-√3(tanB+tanC)
(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)=-√3/3
tan(B+C)=-√3/3
B+C=150°
∠A=30°
2.原来这题是接着上题的,我说怎么少个条件.
选②③
∵∠A=30°
∴sinA=1/2,cosA=√3/2
∵a/sinA=b/sinB=2
∴a=1
∵2c-(√3+1)b=0
∴c=(√3+1)b/2 ,c²=[(√3+1)b/2]²=(√3/2 + 1)b²
a²=b²+c²-2bccosA=1
b²+(√3/2 + 1)b²-√3b[(√3+1)b/2]=1
b²=2,b=√2
c=(√6+√2)/2
S=bcsinA *(1/2)=(√3+1)/4

首先证明这样一个结论
:三角形ABC tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC
证明如下
tanA=tan(∏-B-C)=-tan(B+C)=
-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)
=（tanB+tanC)/(tanBtanC-1)
所以 tanA*(tanBtanC-1)=tanB+tanC
tanA*tanB*tanC - tanA=tanB+tanC
所以tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC
要证明 tanAtanBtanC>1 只要证明 tanA+tanB+tanC>1 即可
因为ABC是锐角三角形,所以A,B,C都大于0,小于90度,
所以tanA>0,tanB>0,tanC>0
又因为,三角形中至少有一个角大于或等于60度（反证法,否则内角和小于180度）,不妨设是角A,
所以tanA>根号3,又tanB>0,tanC>0
所以tanA+tanB+tanC> 根号3 >1
所以tanAtanBtanC>1.

由tanA(tanB-tanC)=tanBtanC得tanAtanB=tanC(tanA+tanB),所有的切化弦
(sinAsinB)/(cosAcosB)=sinC/cosC(sinA/cosA+sinB/cosB)
即:(sinAsinB)/(cosAcosB)=sinC^2/cosCcosAcosB
所以:sinAsinB=sinC^2/cosC
即:sinC^2=sinAsinBcosC
利用正弦定理和余弦定理:
c^2=ab(a^2+b^2-c^2)/2ab
3c^2=a^2+b^2
3=a^2/c^2+b^2/c^2
所以:(sinA/sinC)^2+(sinB/sinC)^2=a^2/c^2+b^2/c^2=3
故选C
解答者
野狼

在三角形中tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,又f(x)=tanx在(0,π/2)上为凸函数,所以tanA+tanB+tanC》3tan((A+B+C)/3)=3倍根号3
等号当且仅当A=B=C=π/3时成立,故最小值为3倍根号3

tanBtanC>0
说明B和C都是锐角,（因为三角形中不会出现两个钝角）
然后看tanBtanC

tanBtanC > 1
说明tanB tanC同号 又当tanB tanC都为负时B C都是钝角
一个三角形里不存在两钝角 所以tanB>0 tanC>0 B,C为锐角.
tanBtanC > 1 1-tanBtanC < 0
tanA = tan(180-B-C) = tan(B+C) = (tanB + tanC)/(1 - tanBtanC) < 0
所以 A也是钝角
则三角形为钝角三角形
回答的慢了,谅解