度量空间怎么可能有聚点呢?书上说聚点的定义是：A是度量空间X的子集,x属于X,若x的任意球形邻域与A的交集非空,则x是A

你说的极限点就是所谓的聚点,对于全体整数来说,就象你说的,任一个整数不可能是其他整数的极限点.
N表示整数集,N'表示N的全体极限点,这里N'=空集,自然包含在N里面,N是闭集.
另外,不知道哪本书写的{1/n}组成的集合是开集?开和闭是在哪个全集来看?在实数集R中来看,{1/n}不可能是开集,因为该集每一点都不是这个集合的内点.若在某个集合本身来看,都是开和闭.
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知道闭集怎么定义的吗?闭集是指集合的所有聚点都在该集里面,你说的整数集聚点是空集合,当然包含在该集里面,所以整数集为闭集.

在学数学分析的时候,在实数的完备性这一章我也学的是稀里糊涂,那里面的几个定义我到现在都没有搞明白,这也学就是一种划分吧.有时候不懂往往是一种进步.

覆盖覆盖当然是盖住了,就是说该集合被包含在这些开集的并里面.又不该集等于这些开集合的并.
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那对于子覆盖(-1,1),(0,2),(1.5,3)
(1,2)和[1,2]不是都满足定义吗,为什么一定是闭的呢?
紧集的定义是任意的开覆盖有有限的子覆盖.
你这是特别取的某个覆盖,当然不行.要对所有的开覆盖满足才行.

首先：度量空间中的紧子集等价于有界闭集.
其次：有限个有界集合的并是有界集合；且有限个闭子集的并是闭集.
所以：有限个紧子集之并为有界闭集,也就是紧集.

我对于拓扑和解析比较生疏,仅供您参考.
令 f :X ---> Y 是一个连续映射,A 是 X 的一个稠密子集,要证明 f(A) 是 f(X) 的稠密子集.
取 f(x) 属于 f(X) ,其中 x ∈ X.
[第一个思路]
我觉得这其实对于一般的拓扑空间 X ,Y 也成立.必须证明的是,点 f(x) 的每个开邻域( open neighborhood) V 都与集合 f(A) 相交.
用 U 表示 V 在映射 f 之下的原像,即
U = f^(-1) (V)
那么 f 连续说明 U 是 x 在 X 中的一个 开邻域 ; A 的稠密性意味着 U ∩ A 非空,于是显然 V ∩ f(A) 非空.
[第二个思路]
这次假定 X ,Y 是度量空间.
x 属于 " A 的闭包" 等价于说 存在 A 中的点列 (a_n) 收敛到 x ;
映射 f 连续保证了像的序列 ( f(a_n) ) 收敛到 f(x) ,这意味着 f(X) 含于 " f(A) 的闭包 " .

可测空间和可测集
设X是一个集合,S是X的某些子集组成的sigma环,若 X=某些E的并集 (E属于S),则称(X,S)是一个可测空间,每个E(属于S)称为可测空间(X,S)中的可测集.
也可用sigma域定义.等价的定义有很多,上面只是其中一种,取自郭大均的《实变函数与泛函分析》
度量空间和可测空间不是一个意思.度量空间一般是指定义了度量(一般是距离)的集合X,强调元素间的度量.而可测空间则强调集合间的覆盖关系,涉及到集合的并和差运算.

赋范向量空间中有线性结构.度量空间没有.
两者中都定义了距离.但赋范向量空间中的距离是由范数诱导出来的,而一般度量空间没有.
当你给出 (1,2) y(3,4) 这样的坐标时就意味着空间具有线性结构.即使如此,仍可以在空间上定义各种不同的距离.
赋范向量空间的距离可以通过正交单位基的投影计算.而一般度量空间,只能根据定义,具体情况具体分析啦.

欧氏空间的度量是欧氏度量.而一般度量空间的度量可以不是欧氏度量.比如球表面,规定任意两点的距离是大圆劣弧长,这样定义的距离使得球面成为度量空间,但这不是欧氏空间.因为欧氏空间中三角形内角和是180度.