已知函数f(x)=1x+ax+lnx，g(x)=a+1x+3lnx，(a∈R)．

解题思路：（I）a=2，代入f（x），利用导数研究函数的单调性问题；
（II）已知函数F（x）=f（x）-g（x）在区间[1，+∞）上单调递增，将问题转化为F′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，再利用常数分离法进行证明；
（III）要证明2n+1+

1

2n

≥n(n+1)ln2+3，可以令新的函数f（x）=2^x+1+

1

2x

-x（x+1）ln2-ln2+3，对其进行求导，利用导数研究其导数，利用导数研究其最值，从而求解；

（I）a=2，可得f(x)=
1
x+2x+lnx，
可得f′（x）=[-1
x2+2+
1/x]=
(2x-1)(x+1)
x2，（x＞0）
若f′（x）＞0，可得x＞[1/2]，f（x）为增函数；
若f′（x）＜0，可得0＜x＜[1/2]，f（x）为减函数；
函数f（x）的单调增区间：（[1/2]，+∞]；
函数f（x）的单调减区间：（0，[1/2]）；
（II）函数F（x）=f（x）-g（x）=[1/x]+ax+lnx-[a+1/x]-3lnx
=[1/x]+ax-2lnx-[a+1/x]
F′（x）=[-1
x2+a-
2/x]+[a+1
x2=
-1+ax2-2x+a+1
x2≥0，
在区间[1，+∞）上大于等于0，
等价于-1+ax²-2x+a+1≥0，
可得a≥
2x
x2+1，求y=
2x
x2+1的最大值即可，
因为y在[1，+∞）上为减函数，所以y≤
2/1+1]=1，
∴a≥1；
（ III）令f（x）=2^x+1+
1
2x-x（x+1）ln2-ln2+3，（x≥1）
可得f′（x）=2^x+1ln2-
ln2
2x-2xln2-ln2
=ln2（2^x+1-
1
2x-2x-1），
令g（x）=2^x+1-
1

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．