泰勒公式

#include<stdio.h>#definepi3.14159265//pi定义doublemypow(double,int);//自定义指数函数intmult(int);//阶乘函数doublemysin(double);//sin函数doublemycos(double);//cos函数doublemypow(doublex,intn){inti;doubleresult=1;if(n>0)for(i=1;i<=n;i++) result*=x;returnresult;}intmult(intn){inti;intresult=1;if(n>0)for(i=1;i<=n;i++) result*=i;returnresult;}doublemysin(doublex){intflag=1;//标志正负inti;doubleresult=0;while(x>=2*pi) x-=2*pi;while(x<0) x+=2*pi;if(x>pi){ x=2*pi-x; flag=-flag;}if(x>pi/2)//将任意弧度转化到[0,pi/2] x=pi-x;if(x>pi/4)//[pi/4,pi/2]调用cosX在[0,pi/4]求解，减少误差 returnflag*mycos(pi/2-x);for(i=0;i<10;i++)//taylor展开{ result+=((double)1)*mypow(x,2*i+1)*mypow(-1,i)/mult(2*i+1);}returnflag*result;}doublemycos(doublex)//与sin函数过程类似{intflag=1;inti;doubleresult=0;while(x>=2*pi) x-=2*pi;while(x<0) x+=2*pi;if(x>1.5*pi) x=2*pi-x;if(x>pi/2&&x<=pi){ x=pi-x; flag=-flag;}if(x>pi&&x<=1.5*pi){ x-=pi; flag=-flag;}if(x>pi/4) returnflag*mysin(pi/2-x);for(i=0;i<10;i++){ result+=((double)1)*mypow(x,2*i)*mypow(-1,i)/mult(2*i);}returnflag*result;}intmain()//测试程序{intx;while(1){scanf("%d",&x);//可以输入任意一个角度(角度制)，-1终止程序printf("cosx=%lf ",mycos(x*pi/180));//转换成弧度，再调用前面的函数。printf("sinx=%lf ",mysin(x*pi/180));if(x==-1) break;}return0;}

泰勒展开公式是对于一些常见函数在某一点附近进行无穷级数展开的表示形式。这些展开公式可以用于近似计算和推导相关性质，在数学和物理等领域有广泛的应用。sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ...ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...tan(x) = x + (x^3)/3 + (2x^5)/15 + (17x^7)/315 + ...arcsin(x) = x + (x^3)/6 + (3x^5)/40 + (5x^7)/112 + ...arccos(x) = π/2 - (x^3)/6 - (3x^5)/40 - (5x^7)/112 - ...arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ...1. 正弦函数（Sine function）的泰勒展开：正弦函数可以通过无穷级数展开为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...这代表正弦函数在以0为中心，以x为自变量的泰勒级数展开。根据这个展开式，我们可以用有限项来近似计算正弦函数的值。2. 余弦函数（Cosine function）的泰勒展开：余弦函数可以通过无穷级数展开为：cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...这代表余弦函数在以0为中心，以x为自变量的泰勒级数展开。同样地，通过截断级数展开，我们能够近似计算余弦函数的值。3. 自然指数函数（Exponential function）的泰勒展开：自然指数函数可以通过无穷级数展开为：e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ...这意味着自然指数函数可以通过以0为中心，以x为自变量的泰勒级数展开。这个级数展开在微积分和数学分析中非常重要，使得我们能够近似计算复杂的指数函数。4. 自然对数函数（Natural logarithm function）的泰勒展开：自然对数函数可以通过无穷级数展开为：ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...这代表自然对数函数在以0为中心，以x为自变量的泰勒级数展开。这个级数展开在数学和工程领域中广泛应用于近似计算和解析推导。5. 正切函数（Tangent function）的泰勒展开：正切函数可以通过无穷级数展开为：tan(x) = x + (x^3)/3 + (2x^5)/15 + (17x^7)/315 + ...这表示正切函数可以通过以0为中心，以x为自变量的泰勒级数展开。这个级数展开对于计算和研究正切函数的性质具有重要意义。6. 反正弦函数（Arcsine function）的泰勒展开：反正弦函数可以通过无穷级数展开为：arcsin(x) = x + (x^3)/6 + (3x^5)/40 + (5x^7)/112 + ...这表示反正弦函数可以通过以0为中心，以x为自变量的泰勒级数展开。这个级数展开在三角函数的计算和分析中常被用到。7. 反余弦函数（Arccosine function）的泰勒展开：反余弦函数可以通过无穷级数展开为：arccos(x) = π/2 - (x^3)/6 - (3x^5)/40 - (5x^7)/112 - ...这表示反余弦函数可以通过以0为中心，以x为自变量的泰勒级数展开。这个级数展开也在三角函数的计算和分析中具有重要应用。8. 反正切函数（Arctangent function）的泰勒展开：反正切函数可以通过无穷级数展开为：arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ...这表示反正切函数可以通过以0为中心，以x为自变量的泰勒级数展开。这个级数展开在计算和研究反正切函数的近似值时非常有用。泰勒公式是一种重要的数学工具，它提供了将函数近似表示为多项式的方法，可应用于函数近似、数值计算、求解导数和积分、解析推导以及差值和插值等方面。1. 函数近似：通过截断泰勒级数展开，我们可以将某个函数近似表示为一个无穷级数的有限项。这使得我们能够用简单的多项式函数来近似复杂的函数，从而简化计算和分析过程。2. 数值计算：泰勒公式提供了一种计算函数值的方法。通过截取泰勒级数展开中的有限项，我们可以用多项式函数来逼近原始函数，并在给定自变量的情况下计算出函数的近似值。3. 求导和积分：泰勒公式还可以用于求解函数的导数和不定积分。对于某个函数，在该点附近的局部区域内，我们可以使用泰勒展开的若干项得到函数的导数表达式。类似地，我们也可以通过泰勒展开来进行函数的不定积分。4. 解析推导：泰勒公式在解析推导中具有广泛的应用。通过将一个复杂的函数展开为泰勒级数，我们可以获得函数在不同阶次上的系数信息，从而推导出函数的性质、关系式或者一些重要的特殊值。5. 差值和插值：在数据分析和数值计算中，泰勒公式可以用于进行函数的差值和插值。通过已知函数在某些点上的函数值以及对应的导数，我们可以使用泰勒展开来构造多项式函数，从而逼近原始函数并对其进行插值。

sinx泰勒公式：sinx=sinα·cosβ。sinX是正弦函数，而cosX是余弦函数，两者导数不同，sinX的导数是cosX，而cosX的导数是-sinX，这是因为两个函数的不同的升降区间造成的。正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。

不用，不考的

首先，定理，f(x)=f(x0)+f"(x0)*(x-x0)+f"(x0)*(x-x0)(x-xo)/2+...+f(n){这里n应该放在上面，指f的n阶导数，打不出来，抱歉}（xo）*(x-xo)的n次方/n!+rn(x)其中rn(x)有2种写法，通常为了方便，一般写成皮亚诺余项，o(|x-xo|的n次方)另一种，是拉格朗日余项，f(n+1)（@）（xo）*(x-xo)的n+1次方/（n+1）!{这里n应该放在上面，指f的n+1阶导数，打不出来，抱歉。@是x与xo之间某值}。如果题目有要求就写成这样。麦克劳林公式是泰勒的当xo=0的特例。主要的应用就是把一个函数展开eg。将e的x方展开成麦克老林公式，直接套公式就行。泰勒公式要求不高，只要稍微了解，记住公式就成了。一般考试以及考研涉及很少，不是重点。导数微分重点学

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f"(x.)(x-x.)+f""(x.)/2!61(x-x.)^2,+f"""(x.)/3!61(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!61(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!61(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明：我们知道f(x)=f(x.)+f"(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f"(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P"(x.)=f"(x.),P""(x.)=f""(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P"(x.)=A1,A1=f"(x.)；P""(x.)=2!A2,A2=f""(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f"(x.)(x-x.)+f""(x.)/2!61(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!61(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn"(x.)=Rn""(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn"(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn"(ξ1)-Rn"(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn""(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!61(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。 麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f"(0)x+f""(0)/2!61x^2,+f"""(0)/3!61x^3+……+f(n)(0)/n!61x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!61x^(n+1),这里0<θ<1。 证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式： f(x)=f(0)+f"(0)x+f""(0)/2!61x^2,+f"""(0)/3!61x^3+……+f(n)(0)/n!61x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!61x^(n+1) 由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<θ<1。 麦克劳林展开式的应用： 1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。 解：根据导数表得：f(x)=sinx , f"(x)=cosx , f""(x)=-sinx , f"""(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx…… 于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f"(0)=1, f""(x)=0, f"""(0)=-1, f(4)=0…… 最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。） 类似地，可以展开y=cosx。 2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。

因为替换的变量与原来的变量有确定的关系,而且是等价的,你也可以在x处展开,其实是一样的,那个更方便

表示高阶无穷小。泰勒公式，也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数，求得在这一点的邻域中的值。而泰勒公式后面的ox表示高阶无穷小，即比(x-x0)^n还要小很多的量。它是一种定性的表示，不能量化。如果想要量化余项，就需要用到拉格朗日余项或者皮亚诺余项，通常用来求极限，在求极限中忽略比较高阶的无穷小量。关键在于多少阶的无穷小可以忽略,这是因题而异的。

计算过程如下：∫e^xdx =xe^x-∫xe^xdx =xe^x-1/2∫e^xdx^2 =xe^x-1/2e^x+c =（x-1/2）e^x+c。e是一个常数,常数的微分为0,所以e的微分是0。ex的泰勒展开式为e^x在x=0自展开得 f(x)=e^x。e^x在x趋于正无穷的时候是发散的，它的泰勒展开式在n趋于正无穷的时候是收敛的级数收敛即和存在，而当n趋于正无穷的时候展开式各多项式的和无限趋近于e^x，即它的和为e^x，所以收敛于e^x当x=1时展开式就收敛于e。

Private Sub Form_Click()Dim s As DoubleDim n As Integerx = Val(InputBox("请输入x的值", "输入框"))Dos = s + (-1) ^ n * (x ^ (2 * n + 1) / j(2 * n + 1))n = n + 1Loop Until n = 50 "我不太清楚你的那个条件是什么意思，不过取泰勒展开式的前50项对一般的数已经很精确了，而且在x＝1200之前不会有数据溢出错误，我再想想有什么改进的方法Print sEnd SubPrivate Function j(n As Integer) As Doublej = 1For i = 1 To nj = j * iNextEnd Function