高中函数

第一题：第三题：

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1

1．观察法用于简单的解析式。y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).2.配方法多用于二次(型)函数。y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）3. 换元法多用于复合型函数。通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。特别注意中间变量（新量）的变化范围。y=-x+2√( x-1)+2令t=√(x-1),则t≤0, x=t^2+1.y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞, 1].4. 不等式法用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).0<x<1,1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,1/(e^x-1)>1/(e-1),y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).5. 最值法如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的. 6. 反函数法有的又叫反解法.函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.7. 单调性法若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为[f(b), f(a)].

函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。常用方法有：（1）直接法：从变量x的范围出发，推出y=f（x）的取值范围；（2）配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F（x）=af^（x）+bf（x）+c的函数的值域问题，均可使用配方法（3）反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过反函数的定义域，得到原函数的值域。形如y=cx+d/ax+b（a≠0）的函数均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。（4）换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如y=ax+b±根号cx+d（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解。举些例子吧！（1）y=4-根号3+2x-x^此题就得用配方法:由3+2x-x^≥0,得-1≤x≤3.∵y=4-根号-1(x-1)^+4,∴当x=1时,ymin=4-2=2.当x=-1或3时,ymax=4.∴函数值域为[2,4](2)y=2x+根号1-2x此题用换元法:令t=根号1-2x(t≥0),则x=1-t^/2∵y=-t^+t+1=-(t-1/2)^+5/4,∵当t=1/2即x=3/8时,ymax=5/4,无最小值.∴函数值域为(-∞,5/4)(3)y=1-x/2x+5用分离常数法∵y=-1/2+7/2/2x+5,7/2/2x+5≠0,∴y≠-1/2

研究性学习：“数学在生活中的应用”结题报告一、课题研究背景：数学是一门很有用的学科。自从人类出现在地球上那天起，人们便在认识世界、改造世界的同时对数学有了逐渐深刻的了解。早在远古时代，就有原始人“涉猎计数”与“结绳记事”等种种传说。可见，在早期一些古代文明社会中已产生了数学的开端和萌芽。在bc3000年左右巴比伦和埃及数学出现以前，人类在数学上没有取得更多的进展，而在bc600—bc300年间古希腊学者登场后，数学便开始作为一名有组织的、独立的和理性的学科登上了人类发展史的大舞台。如今，数学知识和数学思想在工农业生产和人们日常生活中有极其广泛的应用。譬如，人们购物后须记账，以便年终统计查询；去银行办理储蓄业务；查收各住户水电费用等，这些便利用了算术及统计学知识。此外，社区和机关大院门口的“推拉式自动伸缩门”；运动场跑道直道与弯道的平滑连接；底部不能靠近的建筑物高度的计算；隧道双向作业起点的确定；折扇的设计以及黄金分割等，则是平面几何中直线图形的性质及解直角三角形有关知识的应用。由此可见，古往今来，人类社会都是在不断了解和探究数学的过程中得到发展进步的。数学对推动人类文明起了举足轻重的作用。二、课题研究目的和意义：1.感受数学，体会数学的价值。“数学在生活中的应用”的研究性学习让同学收集和开发自己生活中的素材，感受数学与我们现实生活的密切关系，让大家感受生活与数学同在，来体验数学自身价值。2．领悟数学，思想升华。“数学在生活中的应用”的研究性学习让学生经历知识的再创造，体验知识的形成过程，形成自身有效的知识，使自己的思想得到进一步的升华。3．会用数学。“数学在生活中的应用”的研究性学习让自己学会应用数学，达到直接为社会创造价值的最终目的。三、研究过程1．成立课题小组（第一学期第12周）。2．开题（第一学期第13周）。组织学生做好开题报告，介绍本课题的选题背景、立意、课题论证和实施计划。3．研究。（第一学期第14周至第二学期第15周）在老师的启发引导下，本课题小组同学积极参与，利用课余、课外时间，通过数学课本、化学资料等对“数学在生活中的应用”课题进行探索、研究和计算，还有部分同学对研究成果通过实验来验证，体现了大家严谨的科学态度。在老师的指导下，将有关“数学在生活中的应用”的研究成果和心得体会写成小论文。四、课题：“数学在生活中的应用”的研究成果小论文：不等式、数列、函数在生活中的应用（见附件1）五、心得体会通过这次研究性学习我们学会了很多东西，也懂得了很多。以前学数学一般是理论性的比较多，缺乏与实际的联系，学了不知道怎么用。这次研究性学习的最大所得，不在于取得什么成果，而是培养一种思维习惯，一种将现实生活中的现象转化为问题并进行研究的习惯。当我们在黑板上写字，用力过大而将粉笔折断时，是否想到了粉笔多长才是最优化长度；又当我们去打电话时，是否能够联想到这类似于“函数模型”，从而求出电话费与时间的函数。甚至当我们玩游戏时，能否用离散和概率的思想。不禁一笑后，你会发现，其实这些问题都来自于我们的生活，但是它们的复合与延伸，就可能涉及到今日科学的前沿。 另外感觉自己的知识面还是不够宽，例如老师给了很多有价值的问题，由于我们知识浅薄，最终我们选择了“函数、不等式、数列在生活中的应用”等进行探索、研究。对问题数据计算还可以，但对计出的数据找规律时，就遇到了困难，老师给我们作了指导。在如果平时学习时，多注意理论与实践的结合，学以致用，做起研究性学习就更能得心手。 研究性学习毕竟是个集体项目，它不仅培养了我们的合作精神，而且也培养了大家的团结友爱，互助协作的精神。所以组成小组后，我们组就常常在一起讨论题目，等到讨论成熟后，就进行计算研究。俗话说，三个臭皮匠顶个诸葛亮。大家在一起如果做出一些东西来，就会有一种成就感，这也是 研究性学习带给我们的乐趣所在。研究性学习培养的是一种创新精神，以及快速解决问题的能力。参加研究性学习小组，也给了我们一次简单的科学研究工作的体验。科学工作所需要的严谨，大胆都在这样活动中有着完整的体现。使我们体会到了科研工作的艰辛，这些将对我们今后的学习与工作产生积极的作用和深远的影响。

高中函数单调性的定义如下：一、知识点解析x1，x2的三个特征1、同区间性，即x1，x2∈I。2、任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2。3、有序性，即需要区分大小，通常规定x1<x2。二、单调性、单调区间如果函数y=f（x）在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y=f（x）在区间I上具有单调性。此时，区间I为函数y=f（x）的单调区间。三、自变量的大小与函数值的大小关系1、若f（x）在区间I上单调递增，则x1<x2u21d4f（x1）<f（x2），x1>x2u21d4f（x1）>f（x2）。2、若f（x）在区间I上单调递减，则x1<x2u21d4f（x1）>f（x2），x1>x2u21d4f（x1）<f（x2）。即可以利用单调递增、单调递减的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化。判断函数的单调性如下：1、图象法判断函数单调性的注意点图象法判断函数的单调性主要用于常见函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调性判断，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象，从而进行单调性的判断。2、利用单调函数的运算性质判断函数单调性的思路当函数解析式通过变换、转化之后，是由几个基本函数的解析式构成的，则可分析这几个基本函数的单调性，看是否符合单调函数运算性质的规律，若符合，可直接得出结论，否则，不能用这种方法判断函数的单调性。此外，研究函数的单调性时，要坚持“定义域优先”的原则。

1、定义不同初中函数的定义是从[变化关系]定义的，如果一一个量随着另一个量的变化而随之变化，那么就说这两个量有函数关系;而高中函数引入了集合的概念后，函数的定义也得到了扩充，在原先两个变量的基础上，新增了一个被称为“对应法则”的概念，“对应法则”一般用f表示，此时再来定义函数就可以如此定义:设2个变量x和y，若x在变化时，参照某个对应法则f,y都有唯一的值于其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，f是它们的对应法则(引入对应法则后，x的函数可直接写作f(x)的形式)2、知识点不同初中函数:主要学的是一次函数、 二次函数、反比例函数以及三角函数初级概念。初中函数特点:初中函数只要求:(1)了解什么是函数; (2) 会求简单函数的解析式; (3) 会简单运用各种函数; (4) 不要求求各函数的定义域与值域。高中函数:一元函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数。高中函数特点: (1) 深研函数定义(映射) ;(2) 熟练掌握各种函数的运用(包括求解析式、定义域、值域) ; (3) 能运用函数的思想解决相关的实际问题;(5)加大了函数与函数之间的综合。总之函数是贯穿中学数学的一条主线 在中学的理科学习中都要用到函数的观点解决相关问题，特别是实际问题。 3、思维变化不同与初中函数相比，高中阶段的函数所学知识的深度和广度有很大的变化，初中的知识相对较浅。高中函数：更重视知识内在联系和其形成过程，要求学生在理解记忆的基础上掌握函数的来龙去脉，对所学知识要融会贯通，对学生的抽象思维及逻辑思维都有较高的要求。4、性质不同初中函数：主要学的是单调性、奇偶性、单调性、周期性、对称性、最大值和最小值高中函数：而高中函数还增加了定义域、值域5、学习方法不同初中课堂教学量小、知识简单,教师通过课堂较慢的讲解速度，争取让同学们全面理解知识点和解题方法,课后老师布置作业，然后通过大量的课堂内、外练习、课外指导达到对知识的反反复复理解,直到学生掌握.而高中课程开设多,每天至少上六节课,自习时间三节课，这样各科学习时间将大大减少,而教师布置课外题量相对初中减少，这样集中数学学习的时间相对比初中少,